9.3 全微分
一、二元函数全微分定义
全增量。……可全微。AΔx+BΔy全微分。d∂|(x₀,y₀)=AΔx+BΔy,习惯写成Adx+Bdy。
二、结论
Th1,可微→连续。
Th2,在一点可微,→可偏导。
【注解】在一点连续不一定可微。可偏导不一定可微。
【例1】【例2】
Th3,【可微充分条件】若两个偏导数连续(或连续可偏导),则f(x,y)可微。
连续可偏导→可微→连续
连续可偏导→可微→可偏导
dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy
【例3】
9.4 多元复合函数求导法则
情形一:
Th1,dz/dt=∂f/∂u×du/dt+∂f/∂v×dv/dt.
【例1】
Th2,连续可偏导……
∂z/∂x=∂f/∂u·∂u/∂x+∂f/∂v·∂v/∂x.
∂z/∂y=∂f/∂u·∂u/∂y+∂f/∂v·∂v/∂y.
【例3】【例4】【例5】【例6】【例7】【例8】
9.5 隐函数的求导法则
一、一个约束条件的情形
Th1,F(x,y)在M₀邻域内连续可偏导,且F(x₀,y₀)=0,Fy'(x₀,y₀)≠0,则由F(x,y)=0在M₀邻域内唯一确定一个连续可导函数y=f(x),使y₀=f(x₀).
dy/dx=-Fx'/Fy'.
……
F(x,y)=0,确定了一个一元函数。
【例1】
Th2,F(x,y,z)在M₀(x₀,y₀,z₀)邻域内连续可偏导,F(x₀,y₀,z₀)=0,Fz'(x₀,y₀,z₀)≠0,则……确定唯一连续可偏导
z=φ(x,y),且z=φ(x₀,y₀),有
∂z/∂x=-Fx'/Fz',∂z/∂y=-Fy'/Fz'.
……
【解释】……
【例2】
二、两个约束条件的情形
Th3,……≠0,则……,……
【注解】①行列式对调两行(或两列)变为相反数。
②……克莱姆法则
③行列式一行(或一列)有公因子可提取。
【例3】【例4】
……
总觉得下雨让我脑阔疼,其实是高数让我脑阔疼。歇了,明天再看下一节多元函数在微分学的几何应用。
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