……
【例1】
……
哦,不是视频少一段,而是我跳了一个视频。
……
有界不一定可积。
只存在有限个第一类间断点,也是可积的。
……
5.2 积分基本公式
一、积分基本公式产生的背景
二、积分基本定理
㈠变积分限的函数
定积分由积分上下限和函数关系确定,与积分变量无关。
积分上限函数。
【注解】①【f(x)】,表达式的x能换②【f(x,t)dt】,表达式中的x与上限中的x一样,所以x不能换
Th1,设f(x)∈C[a,b],令Φ(x)=∫【积分区间(a,x)】f(t)dt.
则d/dx∫【积分区间(a,x)】f(t)dt=Φ'(x)=f(x).
【证明】【……】
【例1】混合定积分的求极限
【例2】有条件,求极限
【例3】
【注解】①d/dx∫【积分区间(a,x)】f(t)dt=f(x).
②①d/dx∫【积分区间(a,φ(x))】f(t)dt
=f[φ(x)]φ'(x)
三、积分基本定理——Newton-Leibniz公式【牛顿莱布利兹公式】
Th2,f(x)∈C[a,b],F(x)为f(x)的一个原函数,则
∫【下上限a,b】f(x)dx=F(b)-F(a)
【证明】【利用上面的Th1】
……
晚餐,土豆五花肉,青椒苦瓜、馍馍、红烧鱼块。
……
牛顿莱布利兹公式的建立是划时代的事件(epoch-making event)。
……
重要定理:【积分中值定理的推广】
Th3,设f(x)∈C[a,b],则∃ξ∈(a,b),使
∫【(a,b)】f(x)dx=f(ξ)(b-a).
【解释】【ξ是有可能取的到端点,但是这个推广不考虑端点,并不是说端点取不到,与积分中值定理不矛盾】
【证明】【……拉格朗日……】
【介值定理、积分中值定理是闭区间,其他已学的是开区间】
【例3】
……
5.3一会儿再看。
……
牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人.【总论·都是巨人】
就微积分的创立而言,尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色,但二者的功绩是相当的.【分论点·相当】
他们都使微积分成为能普遍适用的算法,同时又都将面积、体积及相当的问题归结为反切线(微分)运算.【相同点】
牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨,但菜布尼茨成果的发表则早于牛顿.【差异】【各自的“早”】
另外,牛顿从物理学出发,运用集合方法研究微积分,其应用上更多地结合了运动学.【牛顿的主要方面】
莱布尼茨则从几何问题出发,运用分析学方法引进微积分概念,得出运算法则,其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的.【莱布尼茨的主要方面及优点】
因此,后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的.【小结及引出下文】
然而,在历史上,为了谁先发明微积分进行了一场世纪性的大争论.【事件总述】
这个争议,被认为是“科学史上最不幸的一章”,它对整个18世纪英国与欧陆国家在数学发展上的分道扬镳,产生了严重影响.【评价及影响】
虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的进步,但由于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离分析的主流.【历史及评价】——数学史相关《高等数学》
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